Решение неравенств со знаком меньше

Линейные неравенства

решение неравенств со знаком меньше

У нас собраны примеры решения неравенств с модулем разных видов. Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля. Линейные неравенства, примеры, решения, решение линейных число b b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 4. Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой . Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения. Решить.

§ Как решать линейные неравенства

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике.

Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений. При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются.

Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

решение неравенств со знаком меньше

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: Например, если число посадочных мест в самолётето число а пассажиров может быть меньшим или равным В этом случае можно записать: Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств.

Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений.

Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. А значок больше имеется В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается. Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой от слова дугаа не штриховкой.

Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку. Особой разницы между штриховкой и дужками. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет - рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств. Запись ответа для неравенств. В уравнениях было хорошо. Нашли икс, да и записали ответ, например: В неравенствах существуют две формы записи ответов.

Одна - в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки.

решение неравенств со знаком меньше

Тогда запись начинает выглядеть очень научно: Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово "не включая". А где это в ответе видно, что "не включая"?

Неравенство

Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной.

В следующем примере такая скобка используется. Бесконечность не может включаться. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой. Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков.

решение неравенств со знаком меньше

Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся. Популярные задания с неравенствами. Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо.

Это, если с непривычки, не очень приятно.

Решение линейных неравенств

А мы идём. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет. Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравненияпоэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: Точки на числовой прямой будут выколоты.

Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны это свойство модуля: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов.

Переходим от неравенства к уравнению: Избавление от знака модуля Напомню для особо упоротых: И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве.

  • Линейные неравенства
  • Примеры решения неравенств с модулем
  • Решение неравенств с модулем

Ну вот и всё. Делаем всё то же. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.

Линейные неравенства. Подробная теория с примерами.

Ответ — целый интервал Ответ: Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает.

решение неравенств со знаком меньше

Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.: Метод перебора вариантов А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска? Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так: Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю; Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой; Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается; Решить неравенство на каждом таком участке можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности.

Результаты объединить — это и будет ответ.: Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни: